Pesquisar este blog

Carregando...

domingo, 8 de maio de 2011

Números em sequência

Se você tivesse que apostar na Mega-Sena com apenas uma das duas opções de jogo simples listadas abaixo, qual você escolheria?

1º jogo:   7 – 16 – 23 – 34 – 48 – 52  (escolhido aleatoriamente por mim)
2º jogo:   1 –   2 –   3 –   4 –   5 –   6

É muito provável que a maioria das pessoas prefira o primeiro jogo. Até mesmo quem conhece a Teoria da Probabilidade pode ficar um pouco receoso em apostar no segundo jogo. Uma justificativa que já ouvi de alguns é a de que “na teoria” as chances são iguais, mas na “prática” não, afinal de contas, jamais se verificou até hoje, na história da Mega-Sena, uma seqüência de seis dezenas consecutivas.

Neste caso, apesar de não parecer, teoria e prática convergem para o mesmo resultado: os dois jogos têm a mesma chance de serem sorteados.

Teoria

Na análise que segue, considerarei que o sorteio é feito colocando-se 60 bolinhas brancas de mesmo peso e tamanho dentro de um globo, com adesivos em cada uma delas indicando as dezenas de 1 a 60. Gira-se o globo e retiram-se, uma a uma, as seis bolinhas que constituirão o resultado da Mega-Sena.

Suponha que um determinado jogador apostou no segundo jogo. Por gostar de emoção, esse jogador pede que as seis bolinhas numeradas de 1 a 6 sejam pintadas de vermelho, para que ele possa visualizá-las enquanto o globo é girado e assim “secar” o resultado do sorteio. Realizado este desejo, a chance deste jogador fazer a sena corresponde à probabilidade destas seis bolinhas vermelhas serem retiradas do globo.

Quando tudo está preparado para o início do sorteio, o jogador muda de idéia em relação à aposta. Convencido de que a combinação “maluca” escolhida por ele é muito menos provável em relação às demais, ele decide então apostar no primeiro jogo. Já que não é possível remover a tinta das bolinhas vermelhas, o organizador propõe que os números das bolas sejam trocados, para que o jogador continue tendo emoção durante o sorteio. Assim, troca-se o adesivo com o número 1 de uma das bolas vermelhas com o adesivo de número 7 de uma das bolas brancas, e o mesmo procedimento é feito entre os números das bolas 2 e 16, 3 e 23, 4 e 34, 5 e 48, e 6 e 52.

Após essas trocas de números, a chance do jogador ganhar, apostando agora no primeiro jogo, continua sendo equivalente à probabilidade de que estas seis bolinhas vermelhas sejam sorteadas. Igual, portanto, à chance de ganhar apostando no segundo jogo. Ou você acha que a chance das 6 bolinhas vermelhas serem sorteadas mudaria só porque os seus números foram trocados? É evidente que não.

Conclui-se, portanto, que qualquer combinação tem a mesma chance de se tornar o resultado da Mega-Sena, que é a de uma entre as 50.063.860 combinações possíveis. Portanto, não há motivo algum para supor que o primeiro jogo seja mais provável de sair do que o segundo.

Em geral, após essa explicação, a discussão prossegue com a seguinte pergunta: “tudo bem, as chances são as mesmas, mas por que então nunca saem números em seqüência?” A resposta é simples: porque a quantidade de combinações (jogos) que contém vários números em seqüência é MUITO menor do que a quantidade de combinações que NÃO possui números em seqüência. A tabela abaixo analisa esse fato.

Quantidade de dezenas
em seqüência
Número total de combinações* (jogos)
Probabilidade
(%)
Em média,
de uma em cada
6
(Ex: 6, 7, 8, 9, 10, 11)
55
0,00011%
910.252 sorteios
5
(Ex: 4, 15, 16, 17, 18, 19)
2.970
0,0059%
16.857 sorteios
4
(Ex: 12, 41, 42, 43, 44, 52;
13, 14, 15, 16, 31, 32)
81.675
0,16%
613 sorteios
3
(Ex: 11, 23, 24, 25, 44, 52;
13, 22, 23, 52, 53, 54;
4, 5, 6, 15, 16, 17)
1.523.115
3,04%
33 sorteios
Duas ou nenhuma
48.456.045
96,79%
1,033 sorteios
*os cálculos para se chegar a esses números são detalhados no apêndice deste texto.

Não é a toa que é difícil que ocorram várias dezenas em seqüência. A probabilidade de ocorrência das duas situações que mais chamam a atenção (5 ou 6 dezenas consecutivas) são extremamente baixas. Em contraste, a probabilidade de sair alguma combinação com nenhuma ou duas dezenas em seqüência é de 96,79%.

É importante que fique clara, neste momento, a diferença crucial entre sair “alguma” combinação não seqüencial (ou seja, qualquer uma) e sair “a” combinação não seqüencial específica que você escolheu. No segundo caso, a probabilidade de sair uma combinação não seqüencial específica (como, por exemplo, a do primeiro jogo acima) é a mesma de todas as outras combinações, ou seja, aproximadamente uma em cada 50 milhões.

Se você ainda não se convenceu das chances iguais dos dois jogos anteriores, pelo fato de que “nunca saiu até hoje” o segundo jogo (1,2,3,4,5,6), lanço aqui um desafio: pense em uma combinação que você considere que seja mais provável do que a desse segundo jogo. Ao consultar o histórico dos resultados da Mega-Sena (disponível em  http://www1.caixa.gov.br/loterias/loterias/megasena/download.asp), afirmo, com 99,998% de certeza, que a combinação que você escolheu também não saiu ainda até hoje.

Prática

Será que, na prática, as frequências de ocorrência de várias dezenas em seqüência confirmam as chances teóricas indicadas na tabela anterior?

A tabela abaixo compara a quantidade de vezes em que se esperaria, do ponto de vista teórico, que as situações com 3, 4, 5 ou 6 dezenas em seqüência tivessem ocorrido ao longo dos 1281 concursos realizados até hoje, com as quantidades de fato verificadas na prática para cada uma delas.

Quantidade de dezenas
em sequência
Quantidade de vezes que se esperaria que ocorresse até hoje, pela teoria**
Quantidade de vezes verificada na prática
6
0,0014
0
5
0,076
0
4
2,09
2
3
39,05
38

** Estes valores são obtidos dividindo-se o número 1281 pelos valores da última coluna da tabela anterior.

Observa-se a grande semelhança entre as frequências teóricas e os observadas na prática.  Isso indica que não existe nenhum mecanismo que evite, particularmente, que sejam sorteadas dezenas em sequência. A ocorrência desse tipo de situação é rara simplesmente porque a quantidade de combinações associadas a ela também é muito baixa, em relação ao número total de combinações que podem ser sorteadas.

Darei um tempo à Mega-Sena nos próximos posts. Voltarei depois para analisar o mito dos “números que costumam sair mais” e as técnicas mirabulosas encontradas na internet oferecendo dicas de apostas para aumentar as suas chances de ganhar.



Detalhe do cálculo da probabilidade de saírem várias dezenas em seqüência.

Quantidade de números em sequência
Enumeração das sequências
Numero
de Sequências
Número de combinações das demais dezenas
Total da linha
Total Geral
Chance (%)
6
1 a 6;...; 55 a 60
55
1
55
55
0,00011%
5
1 a 5 ou  56 a 60
 (+ 1 dezena)
2
C541 = 54
108
2.970
0,0059%
2 a 6; ... ; 55 a 59
54
C531 = 53
2.862
4
(seqüências
4-2 ou 4-1-1)
1 a 4 ou 57 a 60
(+ 2 dezenas)
2
C552 = 1.485
2.970
81.675
0,1631%
2 a 5; ... ; 56 a 59
(+ 2 dezenas)
55
C542 = 1.431
78.705
3
(seqüências
3-3 ou 3-2-1)
1 a 3 ou 58 a 60
(+ 3 dezenas)
2
C563 = 27.720
55.440
1.523.115
3,042%
2 a 4; ... ; 57 a 59
(+ 3 dezenas)
56
C553 = 26.235
1.469.160
sequências 3 - 3 duplicadas acima


-1.485


Observe que, no cálculo efetuado na penúltima linha, as combinações com duas seqüências de três dezenas (ex: 2,3,4,56,57,58) aparecem contabilizadas duas vezes. Portanto, calcula-se na última linha a quantidade de vezes em que essa situação específica ocorre, para subtrair do valor total das combinações com três dezenas em seqüência.

29 comentários:

  1. Nunca tinha pensado na idéia de pintar as bolinhas para mostrar que a probabilidade não muda... Muito bom!

    ResponderExcluir
  2. Tive uma discussão de quase uma hora com um amigo, tentando convencê-lo de que as chances são as mesmas. Aí ele foi pra internet e achou seu blog. Você conseguiu convencê-lo.

    Grande abraço.

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Perdão! Mas você o convenceu de ir para o lado errado! A intuição do seu amigo estava certa! Um jogo sequencial é muito mais improvável que um jogo aleatório!

      Excluir
    2. Caro Alisson,
      As chances são as mesmas sim, como está esclarecido mais abaixo na resposta ao seu outro comentário. Novamente aqui existe a confusão entre uma sequência aleatória "qualquer" e uma sequência aleatória "específica".
      Abraços
      André

      Excluir
  3. Concordo com você, mas tem um detalhe a ser lembrado. No início do post você pergunta qual das duas combinações eu escolheria para apostar. Certa vez li uma reportagem que em todo sorteio mais de 2 mil pessoas apostam na sequência 01 02 03 04 05 06, logo eu não vou ser bobo de ter que enfrentar a chance mínima de ganhar pra ter que dividir o prêmio com 2000 pessoas. A minha ideia então é buscar uma sequência que eu ache que ninguém apostará.

    ResponderExcluir
  4. Seu comentário está perfeito, Vitor, e este é um ponto que pretendo abordar em breve. Neste post mostro apenas que a chance de ganhar com qualquer combinação é a mesma. Entretanto, como você disse, deve-se "fugir" das combinações mais apostadas para aumentar o valor a ser ganho no caso de acertar a Sena, e concordo que esta combinação 01-02-03-04-05-06, por ser especial, deve ser utilizada por muitas pessoas. A propósito, não vi essa reportagem, se você tiver a fonte pode por favor me enviar?

    Adiantando a discussão, esta análise é muito mais complicada, pois os dados a serem utilizados seriam o das apostas realizadas por todos os jogadores. Além de envolver uma quantidade gigantesca de informação, até onde eu sei isto não é divulgado ao público.
    Abraço e obrigado pela contribuição.

    ResponderExcluir
  5. Pesquisei rápido aqui, a notícia é velha, mas está valendo.
    http://g1.globo.com/Noticias/Brasil/0,,MUL1123419-5598,00-NUMEROS+ENIGMATICOS+DA+SERIE+LOST+INSPIRAM+APOSTADORES+DA+MEGASENA.html

    Abs

    ResponderExcluir
  6. Eu já cheguei aqui sabendo das chances iguais mas queria ver a matemática da coisa. Agora, lendo seu post, uma coisa me deixou cismado:
    Imagine um globo com 50063860 bolas, ou seja, cada uma representando um combinação possível.
    Agora pinte as que são sequências de vermelho (55 bolas) e as demais pinte de verde (50063805 bolas) e vamos refazer pergunta que vc fez lá no começo:

    Se você tivesse que apostar na Mega-Sena com apenas uma das duas opções de jogo simples listadas abaixo, qual você escolheria?

    1º jogo: BOLA VERDE (7 – 16 – 23 – 34 – 48 – 52)
    2º jogo: BOLA VERMELHA (1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6)

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Caro José Erasmo,
      Me desculpe pela longa demora na resposta.
      A probabilidade de sair essa bola verde "específica" que você se referiu é a mesma de sair essa bola vermelha "especifica" que você também citou. Ambas correspondem a 1 dentre as mais de 50 milhões de bolas possíveis.
      Agora, a probabilidade de sair "alguma" bola verde (qualquer) é muito maior do que sair "alguma" bola vermelha (qualquer), pois a quantidade de bolas verdes é muito maior.
      Abraço!

      Excluir
  7. Sim se eles fossem sorteados ao mesmo tempo, porque aí seriam sorteios indivuais porém se sorteado 1 de cada vez, eu tenho 1/60 de ser o 2 e 59/60 de ser qualquer outro número.
    Os únicos números que tenho depois do 1 são 5 números e 54 que não serão sequencia. E a cada número tirado, multiplica-se a improbabilidade pela sequência.
    "A ocorrência desse tipo de situação é rara simplesmente porque a quantidade de combinações associadas a ela também é muito baixa, em relação ao número total de combinações que podem ser sorteadas."

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Caro Anônimo,
      Não entendi bem o seu raciocínio.
      De qualquer forma, é importante lembrar que a chance de sair determinada combinação NÃO depende se as bolas são tiradas simultaneamente ou 1 de cada vez (sem reposição). Ou seja, a chance de, por exemplo, em um jogo de poker você tirar um "four" é a mesma se você tirar 1 carta de cada vez ou se tirar todas juntas.
      Abraços,
      André

      Excluir
  8. OLÁ VC PODE DAR O RESULTADO DOS NUMEROS DO SORTEIO DA DUPLA DE AMANHA 27/08/2012 E MEGA SENA DO DIA 28/08/2012

    ResponderExcluir
  9. Ainda não me convenci desta teoria. Como você mesmo explicou, a chance de sair uma combinação em sequencia de 6 números é 0,00011%. então já vejo como uma possibilidade menor do que outras combinações.
    e ainda, na minha opinião, são como eventos combinados. Se você jogou um dado confiável 5x e todas deram 5, qual a chance de sair um 5? 1/6! no entanto, sabendo que serão jogados os dados 5x, qual a chance de sair 5x o número 5? é menor do que uma combinação de que o 5 saiu 2x, por exemplo.

    umm abraço!
    Adriano Rangel

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. A interpretação errada da Lei de Laplace que nos leva a crer que jogo sequenciais tem as mesmas probabilidades. Vamos resolver utilizando o Princípio da Fundamental da Contagem:
      Se uma ação é composta de duas etapas sucessivas, sendo que a primeira pode ser feita de m modos e, para cada um destes , a segunda pode ser feita de n modos, então, o número de modos de realizar a ação é m X n.
      - Primeira etapa: ocorreu 01.
      - Segunda etapa : {3, 4, 5 até 60}. Portanto, há 58 casos favoráveis em 59 casos possíveis P( segunda etapa)=58/59
      Agora imaginando que a segunda etapa somente pode ocorreu o número 02, temos:
      - Primeira etapa: ocorreu 01.
      - Segunda etapa : ocorreu 02 . Portanto,há um único caso favorável em 59 possíveis implicando que P( segunda etapa )= 1/59
      Conclusão:
      Para jogos com 6 dezenas aleatórias: P1=1x58/59 57/58 56/57 55/56 54/55
      Já para jogos com 6 dezenas em sequencia: P2=1x1/59 1/58 1/57 1/56 1/55
      Não precisamos nem calcular para mostrar que P1>>P2 , P1 é muito maior que P2!

      Excluir
    2. Caro Alisson,

      Em relação a esse seu outro comentário, lembro que a forma de cálculo por você apresentada para o cálculo de sair “01-02-03-04-05-06” não está correta: ao utilizar a razão (1/59) para o segundo lançamento, você está impondo que o segundo número sorteado seja 02 e, como se sabe, na Mega Sena não interessa a ordem em que os números saem.

      Portanto, para calcular a chance de sair a sequência “01-02-03-04-05-06” pelo produto das probabilidades em cada retirada, o correto é utilizar a expressão (6/60) x (5/59) x (4/58) x(3/57) x(2/56) x(1/55).

      Abraços,
      André

      Excluir
    3. Caro Adriano,
      Obrigado também pelo comentário.
      Entretanto, realmente não entendi a sua dúvida.
      Você poderia esclarecer melhor o seu ponto?
      Grande abraço,
      André

      Excluir
    4. Este comentário foi removido pelo autor.

      Excluir
  10. Para calcular a probabilidade de números em sequencia devemos usar o principio geral da contagem na Teoria das probabilidade, e não a fórmula de Laplace como esta sendo empregada.
    A fórmula de Laplace serve apenas para eventos equiprováveis e de forma alguma o jogo 01 02 03 04 05 e 06 é equiprovável a qualquer outro aleatório!

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Caro Alisson,

      Obrigado pelos comentários e o interesse pelo post.
      Entretanto, você não interpretou corretamente o que está sendo descrito no artigo.

      Não digo que sair “01-02-03-04-05-06” é equiprovável a sair “qualquer uma das outras” sequências aleatórias, mas sim equiprovável a uma “sequência aleatória específica”, como fica bem claro no início do post, pois defino especificamente os números do 1º jogo.

      Ou seja, o jogo “01-02-03-04-05-06” tem a mesma probabilidade de ser sorteado que o jogo “07-16-23-34-48-52”, que por sua vez tem a mesma probabilidade de ser sorteado que o jogo “05-12-27-34-56-59”, que por sua vez tem a mesma probabilidade de ser sorteado que o jogo “03-11-19-31-39-45”, etc, e isso vale para qualquer um dos mais de 50 milhões de jogos...

      Mas é evidente que sair “01-02-03-04-05-06” é muito menos provável do que sair “qualquer uma das outras” sequências aleatórias, como você menciona no seu comentário, pois o número de jogos com números não consecutivos é muito maior do que o número de jogos em sequência, como mostra a última linha da tabela.

      Abraços,

      André

      Excluir
    2. André
      Obrigado pela resposta. Apenas respondi o seu post porque foi o que achei mais interessante em toda a internet. A argumentação sua foi excelente, pois faz o leitor pensar nas possibilidades ambíguas da teoria das probabilidades. Estou escrevendo um livro sobre o assunto e confesso que tive que pesquisar não só na internet para contra argumentar seu ponto de vista.
      A maneira como interrogamos e experimentamos é que força a natureza a revelar seus segredos.
      O avança da humanidade sempre estará ligado as perguntas antes que haja respostas!

      Grato

      Abraço

      Excluir
  11. Dado que ocorreu 01, qual a probabilidade de ocorrer 02?
    60/60 vezes 1/59= 1/59
    Dado que ocorreu 01 qual a probabilidade de ocorrer qualquer outro número que não seja 2.
    60/60 vezes 58/59= 58/59
    1/59 é muito menor 58/59. Portanto a sequencia 01 02 é muito mais rara que 01 e outro aleatório qualquer. Agora é só fazer os cálculos de 5 sequencias para provar que a distância probabilística aumenta.

    ResponderExcluir
  12. Cada jogo possui sua própria probabilidade mas podemos dizer que 2 jogos aleatórios possuem probabilidades aproximadamente iguais conforme as evidencias apontam quando se calcula passo a passo. Uma vez que 2 jogos aleatórios tem probabilidades semelhantes podemos considerar que ambos são equiprováveis; e agora sim podemos utilizar a fórmula de Laplace P(A)= Número de casos/ número de casos possíveis.
    Quando a loteria acumula e aparecer aquele especialista dizendo que você precisa jogar 10 jogos para aumentar em 10 vezes a suas chances ele implicitamente espera que você jogue aleatoriamente.

    ResponderExcluir
  13. Este comentário foi removido pelo autor.

    ResponderExcluir
  14. André, e oq é melhor 1 jogo de 10 números (1 em 238.399 chances) ou 3 jogos de 9 números (595.998 chances).

    Pois em termos de custo de aposta são equivalentes - 1 jogo de 10 números = R$ 420,00
    3 de 9 = R$ 504,00

    Ou seja, qual maximiza o investimento?

    Poderia ser o mesmo racional para 1 de sete (R$ 14,00) ou sete jogos de seis números (R$ 14,00)

    Obrigado.

    ResponderExcluir
  15. vc já ganhou na loteria? se já me fala como e estou precisando.

    ResponderExcluir
  16. Se é muito mais provável de dar números aleatórios num dado sorteio, então por que eu investiria em jogar números sequenciais?

    ResponderExcluir
  17. Olá, André Luiz Diniz te mandei um e e-mal quando puder responder.

    Grata.

    ResponderExcluir