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domingo, 8 de maio de 2011

Números em sequência

Se você tivesse que apostar na Mega-Sena com apenas uma das duas opções de jogo simples listadas abaixo, qual você escolheria?

1º jogo:   7 – 16 – 23 – 34 – 48 – 52  (escolhido aleatoriamente por mim)
2º jogo:   1 –   2 –   3 –   4 –   5 –   6

É muito provável que a maioria das pessoas prefira o primeiro jogo. Até mesmo quem conhece a Teoria da Probabilidade pode ficar um pouco receoso em apostar no segundo jogo. Uma justificativa que já ouvi de alguns é a de que “na teoria” as chances são iguais, mas na “prática” não, afinal de contas, jamais se verificou até hoje, na história da Mega-Sena, uma seqüência de seis dezenas consecutivas.

Neste caso, apesar de não parecer, teoria e prática convergem para o mesmo resultado: os dois jogos têm a mesma chance de serem sorteados.

Teoria

Na análise que segue, considerarei que o sorteio é feito colocando-se 60 bolinhas brancas de mesmo peso e tamanho dentro de um globo, com adesivos em cada uma delas indicando as dezenas de 1 a 60. Gira-se o globo e retiram-se, uma a uma, as seis bolinhas que constituirão o resultado da Mega-Sena.

Suponha que um determinado jogador apostou no segundo jogo. Por gostar de emoção, esse jogador pede que as seis bolinhas numeradas de 1 a 6 sejam pintadas de vermelho, para que ele possa visualizá-las enquanto o globo é girado e assim “secar” o resultado do sorteio. Realizado este desejo, a chance deste jogador fazer a sena corresponde à probabilidade destas seis bolinhas vermelhas serem retiradas do globo.

Quando tudo está preparado para o início do sorteio, o jogador muda de idéia em relação à aposta. Convencido de que a combinação “maluca” escolhida por ele é muito menos provável em relação às demais, ele decide então apostar no primeiro jogo. Já que não é possível remover a tinta das bolinhas vermelhas, o organizador propõe que os números das bolas sejam trocados, para que o jogador continue tendo emoção durante o sorteio. Assim, troca-se o adesivo com o número 1 de uma das bolas vermelhas com o adesivo de número 7 de uma das bolas brancas, e o mesmo procedimento é feito entre os números das bolas 2 e 16, 3 e 23, 4 e 34, 5 e 48, e 6 e 52.

Após essas trocas de números, a chance do jogador ganhar, apostando agora no primeiro jogo, continua sendo equivalente à probabilidade de que estas seis bolinhas vermelhas sejam sorteadas. Igual, portanto, à chance de ganhar apostando no segundo jogo. Ou você acha que a chance das 6 bolinhas vermelhas serem sorteadas mudaria só porque os seus números foram trocados? É evidente que não.

Conclui-se, portanto, que qualquer combinação tem a mesma chance de se tornar o resultado da Mega-Sena, que é a de uma entre as 50.063.860 combinações possíveis. Portanto, não há motivo algum para supor que o primeiro jogo seja mais provável de sair do que o segundo.

Em geral, após essa explicação, a discussão prossegue com a seguinte pergunta: “tudo bem, as chances são as mesmas, mas por que então nunca saem números em seqüência?” A resposta é simples: porque a quantidade de combinações (jogos) que contém vários números em seqüência é MUITO menor do que a quantidade de combinações que NÃO possui números em seqüência. A tabela abaixo analisa esse fato.

Quantidade de dezenas
em seqüência
Número total de combinações* (jogos)
Probabilidade
(%)
Em média,
de uma em cada
6
(Ex: 6, 7, 8, 9, 10, 11)
55
0,00011%
910.252 sorteios
5
(Ex: 4, 15, 16, 17, 18, 19)
2.970
0,0059%
16.857 sorteios
4
(Ex: 12, 41, 42, 43, 44, 52;
13, 14, 15, 16, 31, 32)
81.675
0,16%
613 sorteios
3
(Ex: 11, 23, 24, 25, 44, 52;
13, 22, 23, 52, 53, 54;
4, 5, 6, 15, 16, 17)
1.523.115
3,04%
33 sorteios
Duas ou nenhuma
48.456.045
96,79%
1,033 sorteios
*os cálculos para se chegar a esses números são detalhados no apêndice deste texto.

Não é a toa que é difícil que ocorram várias dezenas em seqüência. A probabilidade de ocorrência das duas situações que mais chamam a atenção (5 ou 6 dezenas consecutivas) são extremamente baixas. Em contraste, a probabilidade de sair alguma combinação com nenhuma ou duas dezenas em seqüência é de 96,79%.

É importante que fique clara, neste momento, a diferença crucial entre sair “alguma” combinação não seqüencial (ou seja, qualquer uma) e sair “a” combinação não seqüencial específica que você escolheu. No segundo caso, a probabilidade de sair uma combinação não seqüencial específica (como, por exemplo, a do primeiro jogo acima) é a mesma de todas as outras combinações, ou seja, aproximadamente uma em cada 50 milhões.

Se você ainda não se convenceu das chances iguais dos dois jogos anteriores, pelo fato de que “nunca saiu até hoje” o segundo jogo (1,2,3,4,5,6), lanço aqui um desafio: pense em uma combinação que você considere que seja mais provável do que a desse segundo jogo. Ao consultar o histórico dos resultados da Mega-Sena (disponível em  http://www1.caixa.gov.br/loterias/loterias/megasena/download.asp), afirmo, com 99,998% de certeza, que a combinação que você escolheu também não saiu ainda até hoje.

Prática

Será que, na prática, as frequências de ocorrência de várias dezenas em seqüência confirmam as chances teóricas indicadas na tabela anterior?

A tabela abaixo compara a quantidade de vezes em que se esperaria, do ponto de vista teórico, que as situações com 3, 4, 5 ou 6 dezenas em seqüência tivessem ocorrido ao longo dos 1281 concursos realizados até hoje, com as quantidades de fato verificadas na prática para cada uma delas.

Quantidade de dezenas
em sequência
Quantidade de vezes que se esperaria que ocorresse até hoje, pela teoria**
Quantidade de vezes verificada na prática
6
0,0014
0
5
0,076
0
4
2,09
2
3
39,05
38

** Estes valores são obtidos dividindo-se o número 1281 pelos valores da última coluna da tabela anterior.

Observa-se a grande semelhança entre as frequências teóricas e os observadas na prática.  Isso indica que não existe nenhum mecanismo que evite, particularmente, que sejam sorteadas dezenas em sequência. A ocorrência desse tipo de situação é rara simplesmente porque a quantidade de combinações associadas a ela também é muito baixa, em relação ao número total de combinações que podem ser sorteadas.

Darei um tempo à Mega-Sena nos próximos posts. Voltarei depois para analisar o mito dos “números que costumam sair mais” e as técnicas mirabulosas encontradas na internet oferecendo dicas de apostas para aumentar as suas chances de ganhar.



Detalhe do cálculo da probabilidade de saírem várias dezenas em seqüência.

Quantidade de números em sequência
Enumeração das sequências
Numero
de Sequências
Número de combinações das demais dezenas
Total da linha
Total Geral
Chance (%)
6
1 a 6;...; 55 a 60
55
1
55
55
0,00011%
5
1 a 5 ou  56 a 60
 (+ 1 dezena)
2
C541 = 54
108
2.970
0,0059%
2 a 6; ... ; 55 a 59
54
C531 = 53
2.862
4
(seqüências
4-2 ou 4-1-1)
1 a 4 ou 57 a 60
(+ 2 dezenas)
2
C552 = 1.485
2.970
81.675
0,1631%
2 a 5; ... ; 56 a 59
(+ 2 dezenas)
55
C542 = 1.431
78.705
3
(seqüências
3-3 ou 3-2-1)
1 a 3 ou 58 a 60
(+ 3 dezenas)
2
C563 = 27.720
55.440
1.523.115
3,042%
2 a 4; ... ; 57 a 59
(+ 3 dezenas)
56
C553 = 26.235
1.469.160
sequências 3 - 3 duplicadas acima


-1.485


Observe que, no cálculo efetuado na penúltima linha, as combinações com duas seqüências de três dezenas (ex: 2,3,4,56,57,58) aparecem contabilizadas duas vezes. Portanto, calcula-se na última linha a quantidade de vezes em que essa situação específica ocorre, para subtrair do valor total das combinações com três dezenas em seqüência.

92 comentários:

  1. Nunca tinha pensado na idéia de pintar as bolinhas para mostrar que a probabilidade não muda... Muito bom!

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  2. Tive uma discussão de quase uma hora com um amigo, tentando convencê-lo de que as chances são as mesmas. Aí ele foi pra internet e achou seu blog. Você conseguiu convencê-lo.

    Grande abraço.

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    1. Perdão! Mas você o convenceu de ir para o lado errado! A intuição do seu amigo estava certa! Um jogo sequencial é muito mais improvável que um jogo aleatório!

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    2. Caro Alisson,
      As chances são as mesmas sim, como está esclarecido mais abaixo na resposta ao seu outro comentário. Novamente aqui existe a confusão entre uma sequência aleatória "qualquer" e uma sequência aleatória "específica".
      Abraços
      André

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  3. Concordo com você, mas tem um detalhe a ser lembrado. No início do post você pergunta qual das duas combinações eu escolheria para apostar. Certa vez li uma reportagem que em todo sorteio mais de 2 mil pessoas apostam na sequência 01 02 03 04 05 06, logo eu não vou ser bobo de ter que enfrentar a chance mínima de ganhar pra ter que dividir o prêmio com 2000 pessoas. A minha ideia então é buscar uma sequência que eu ache que ninguém apostará.

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  4. Seu comentário está perfeito, Vitor, e este é um ponto que pretendo abordar em breve. Neste post mostro apenas que a chance de ganhar com qualquer combinação é a mesma. Entretanto, como você disse, deve-se "fugir" das combinações mais apostadas para aumentar o valor a ser ganho no caso de acertar a Sena, e concordo que esta combinação 01-02-03-04-05-06, por ser especial, deve ser utilizada por muitas pessoas. A propósito, não vi essa reportagem, se você tiver a fonte pode por favor me enviar?

    Adiantando a discussão, esta análise é muito mais complicada, pois os dados a serem utilizados seriam o das apostas realizadas por todos os jogadores. Além de envolver uma quantidade gigantesca de informação, até onde eu sei isto não é divulgado ao público.
    Abraço e obrigado pela contribuição.

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  5. Pesquisei rápido aqui, a notícia é velha, mas está valendo.
    http://g1.globo.com/Noticias/Brasil/0,,MUL1123419-5598,00-NUMEROS+ENIGMATICOS+DA+SERIE+LOST+INSPIRAM+APOSTADORES+DA+MEGASENA.html

    Abs

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  6. Eu já cheguei aqui sabendo das chances iguais mas queria ver a matemática da coisa. Agora, lendo seu post, uma coisa me deixou cismado:
    Imagine um globo com 50063860 bolas, ou seja, cada uma representando um combinação possível.
    Agora pinte as que são sequências de vermelho (55 bolas) e as demais pinte de verde (50063805 bolas) e vamos refazer pergunta que vc fez lá no começo:

    Se você tivesse que apostar na Mega-Sena com apenas uma das duas opções de jogo simples listadas abaixo, qual você escolheria?

    1º jogo: BOLA VERDE (7 – 16 – 23 – 34 – 48 – 52)
    2º jogo: BOLA VERMELHA (1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6)

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    1. Caro José Erasmo,
      Me desculpe pela longa demora na resposta.
      A probabilidade de sair essa bola verde "específica" que você se referiu é a mesma de sair essa bola vermelha "especifica" que você também citou. Ambas correspondem a 1 dentre as mais de 50 milhões de bolas possíveis.
      Agora, a probabilidade de sair "alguma" bola verde (qualquer) é muito maior do que sair "alguma" bola vermelha (qualquer), pois a quantidade de bolas verdes é muito maior.
      Abraço!

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  7. Sim se eles fossem sorteados ao mesmo tempo, porque aí seriam sorteios indivuais porém se sorteado 1 de cada vez, eu tenho 1/60 de ser o 2 e 59/60 de ser qualquer outro número.
    Os únicos números que tenho depois do 1 são 5 números e 54 que não serão sequencia. E a cada número tirado, multiplica-se a improbabilidade pela sequência.
    "A ocorrência desse tipo de situação é rara simplesmente porque a quantidade de combinações associadas a ela também é muito baixa, em relação ao número total de combinações que podem ser sorteadas."

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    1. Caro Anônimo,
      Não entendi bem o seu raciocínio.
      De qualquer forma, é importante lembrar que a chance de sair determinada combinação NÃO depende se as bolas são tiradas simultaneamente ou 1 de cada vez (sem reposição). Ou seja, a chance de, por exemplo, em um jogo de poker você tirar um "four" é a mesma se você tirar 1 carta de cada vez ou se tirar todas juntas.
      Abraços,
      André

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  8. OLÁ VC PODE DAR O RESULTADO DOS NUMEROS DO SORTEIO DA DUPLA DE AMANHA 27/08/2012 E MEGA SENA DO DIA 28/08/2012

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  9. Ainda não me convenci desta teoria. Como você mesmo explicou, a chance de sair uma combinação em sequencia de 6 números é 0,00011%. então já vejo como uma possibilidade menor do que outras combinações.
    e ainda, na minha opinião, são como eventos combinados. Se você jogou um dado confiável 5x e todas deram 5, qual a chance de sair um 5? 1/6! no entanto, sabendo que serão jogados os dados 5x, qual a chance de sair 5x o número 5? é menor do que uma combinação de que o 5 saiu 2x, por exemplo.

    umm abraço!
    Adriano Rangel

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    1. A interpretação errada da Lei de Laplace que nos leva a crer que jogo sequenciais tem as mesmas probabilidades. Vamos resolver utilizando o Princípio da Fundamental da Contagem:
      Se uma ação é composta de duas etapas sucessivas, sendo que a primeira pode ser feita de m modos e, para cada um destes , a segunda pode ser feita de n modos, então, o número de modos de realizar a ação é m X n.
      - Primeira etapa: ocorreu 01.
      - Segunda etapa : {3, 4, 5 até 60}. Portanto, há 58 casos favoráveis em 59 casos possíveis P( segunda etapa)=58/59
      Agora imaginando que a segunda etapa somente pode ocorreu o número 02, temos:
      - Primeira etapa: ocorreu 01.
      - Segunda etapa : ocorreu 02 . Portanto,há um único caso favorável em 59 possíveis implicando que P( segunda etapa )= 1/59
      Conclusão:
      Para jogos com 6 dezenas aleatórias: P1=1x58/59 57/58 56/57 55/56 54/55
      Já para jogos com 6 dezenas em sequencia: P2=1x1/59 1/58 1/57 1/56 1/55
      Não precisamos nem calcular para mostrar que P1>>P2 , P1 é muito maior que P2!

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    2. Caro Alisson,

      Em relação a esse seu outro comentário, lembro que a forma de cálculo por você apresentada para o cálculo de sair “01-02-03-04-05-06” não está correta: ao utilizar a razão (1/59) para o segundo lançamento, você está impondo que o segundo número sorteado seja 02 e, como se sabe, na Mega Sena não interessa a ordem em que os números saem.

      Portanto, para calcular a chance de sair a sequência “01-02-03-04-05-06” pelo produto das probabilidades em cada retirada, o correto é utilizar a expressão (6/60) x (5/59) x (4/58) x(3/57) x(2/56) x(1/55).

      Abraços,
      André

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    3. Caro Adriano,
      Obrigado também pelo comentário.
      Entretanto, realmente não entendi a sua dúvida.
      Você poderia esclarecer melhor o seu ponto?
      Grande abraço,
      André

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    4. Este comentário foi removido pelo autor.

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  10. Para calcular a probabilidade de números em sequencia devemos usar o principio geral da contagem na Teoria das probabilidade, e não a fórmula de Laplace como esta sendo empregada.
    A fórmula de Laplace serve apenas para eventos equiprováveis e de forma alguma o jogo 01 02 03 04 05 e 06 é equiprovável a qualquer outro aleatório!

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    1. Caro Alisson,

      Obrigado pelos comentários e o interesse pelo post.
      Entretanto, você não interpretou corretamente o que está sendo descrito no artigo.

      Não digo que sair “01-02-03-04-05-06” é equiprovável a sair “qualquer uma das outras” sequências aleatórias, mas sim equiprovável a uma “sequência aleatória específica”, como fica bem claro no início do post, pois defino especificamente os números do 1º jogo.

      Ou seja, o jogo “01-02-03-04-05-06” tem a mesma probabilidade de ser sorteado que o jogo “07-16-23-34-48-52”, que por sua vez tem a mesma probabilidade de ser sorteado que o jogo “05-12-27-34-56-59”, que por sua vez tem a mesma probabilidade de ser sorteado que o jogo “03-11-19-31-39-45”, etc, e isso vale para qualquer um dos mais de 50 milhões de jogos...

      Mas é evidente que sair “01-02-03-04-05-06” é muito menos provável do que sair “qualquer uma das outras” sequências aleatórias, como você menciona no seu comentário, pois o número de jogos com números não consecutivos é muito maior do que o número de jogos em sequência, como mostra a última linha da tabela.

      Abraços,

      André

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    2. André
      Obrigado pela resposta. Apenas respondi o seu post porque foi o que achei mais interessante em toda a internet. A argumentação sua foi excelente, pois faz o leitor pensar nas possibilidades ambíguas da teoria das probabilidades. Estou escrevendo um livro sobre o assunto e confesso que tive que pesquisar não só na internet para contra argumentar seu ponto de vista.
      A maneira como interrogamos e experimentamos é que força a natureza a revelar seus segredos.
      O avança da humanidade sempre estará ligado as perguntas antes que haja respostas!

      Grato

      Abraço

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  11. Dado que ocorreu 01, qual a probabilidade de ocorrer 02?
    60/60 vezes 1/59= 1/59
    Dado que ocorreu 01 qual a probabilidade de ocorrer qualquer outro número que não seja 2.
    60/60 vezes 58/59= 58/59
    1/59 é muito menor 58/59. Portanto a sequencia 01 02 é muito mais rara que 01 e outro aleatório qualquer. Agora é só fazer os cálculos de 5 sequencias para provar que a distância probabilística aumenta.

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    1. Estou achando tudo muito show! essas teorias! kkkk mas pode passar 6 números aleatórios que vão cair na Loteria? kkkkkk é sério tá estou aceitando palpites de crânios como vocês! bommm diaaaa

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  12. Cada jogo possui sua própria probabilidade mas podemos dizer que 2 jogos aleatórios possuem probabilidades aproximadamente iguais conforme as evidencias apontam quando se calcula passo a passo. Uma vez que 2 jogos aleatórios tem probabilidades semelhantes podemos considerar que ambos são equiprováveis; e agora sim podemos utilizar a fórmula de Laplace P(A)= Número de casos/ número de casos possíveis.
    Quando a loteria acumula e aparecer aquele especialista dizendo que você precisa jogar 10 jogos para aumentar em 10 vezes a suas chances ele implicitamente espera que você jogue aleatoriamente.

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  13. André, e oq é melhor 1 jogo de 10 números (1 em 238.399 chances) ou 3 jogos de 9 números (595.998 chances).

    Pois em termos de custo de aposta são equivalentes - 1 jogo de 10 números = R$ 420,00
    3 de 9 = R$ 504,00

    Ou seja, qual maximiza o investimento?

    Poderia ser o mesmo racional para 1 de sete (R$ 14,00) ou sete jogos de seis números (R$ 14,00)

    Obrigado.

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    1. Ola,
      Jogos que custem o mesmo valor têm a mesma chance de ganhar, pois o cálculo do valor das apostas leva em consideração sua chance de ganhar.
      Abraço!

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  14. vc já ganhou na loteria? se já me fala como e estou precisando.

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    1. Ola,
      Minha chance de ganhar é a mesma do que qualquer pessoa.
      Saber teoria da probabilidade e estatística não aumenta a chance de ganhar, apenas a ajuda a entendê-la.
      Abraço!

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    2. Desculpe... preciso discordar... aumenta sim... e muito!... um ignorante poderá apostar numa sequencia já sorteada o que tem poucas chances de ocorrer até o sorteio de numero 25 milhões... se até lá houver algum leitor vivo 🕸

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  15. Se é muito mais provável de dar números aleatórios num dado sorteio, então por que eu investiria em jogar números sequenciais?

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    1. Olá,
      Como dito antes, o que é igual é a chance de determinado jogo específico (sequencial) versus a chance de outro jogo específico (não sequencial). Isto faz com que todos os jogos tenham a mesma chance.
      Agora, é mais provável que saia ALGUM jogo não sequencial pelo fato da quantidade de jogos não sequenciais ser muito maior.
      Abraço!

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    2. Isso!
      Existe a probabilidade e
      A provavilidade :-)

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  16. Olá, André Luiz Diniz te mandei um e e-mal quando puder responder.

    Grata.

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  17. Acredito que as pessoas acham improvável sair uma sequencia pois quando pensam nela se dão conta de quão difícil seria ganha na mega sena e preferem não acreditar nesta teoria, e continuam jogando e gastando seu dinheiro de forma inútil, eu prefiro tomar uma cerveja.
    Certa vez utilizei deste argumento para convencer minha namorada a não passarmos um bom tempo na fila da lotérica para apostarmos na mega da virada.

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    1. Muito bem! A probabilidade de vc morrer pobre é fácil calcular:
      1 × 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x... (repetir 50.036.860 vezes) = 100%

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  18. Joguei na mega sena e acertei 6 numeros no geral, eu ganho algum premio?

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  19. Se alguem puder me ajudar , la vai a questão , Qual a probabilidade de sair uma dezena qualquer em um resultado da megasena ? Seria correto a seguinte expressão :
    P(numero ) = 1/60 + 1/59 + 1/58 + 1/57 + 1/56 + 1/55 ?????????

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  20. Prof André olá, por favor qual seria a combinação de 9 jogos da loteca?
    Obs:contabilizando ou supondo cinco apostas certas.
    atenciosamente muito obrigado.

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  21. ola qual a probabilidade de sair 11 12 16 21 26 36 ???

    e 29 31 33 35 37 39 ????

    acho muito difícil viu pois todos são nemeros muito próximos.

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    1. Caro Anônimo: como descrito no post, as probabilidades são as mesmas, e iguais a de qualquer outra combinação de seis numeros... Abraço!

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  22. Este comentário foi removido pelo autor.

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  23. Me corrigam se eu estiver errado:
    Um metodo que aumenta suas chances de vencer é apostando aleatoriamente, e se for apostar um bolão de 7 numeros por exemplo, usar 7 cartelas differentes aleatorias (mas sem duas cartelas 100% iguais obviamente) ao inves de selecionar 7 numeros.

    "Como isso aumenta as chaces se qualquer numero tem a mesma chance de acontecer?"
    Se vc aposta todo mês sempre nos números 10, 20, 25, 30, 35, 40, seria como se vc tivesse dizendo que os outros números não vão acontecer. Apostando aleatoriamente isso nao acontece.

    Outra coisa que ajuda funciona assim. Se vc todo mês compra 2 cartelas da mega sena, uma técnica que aumentaria um pouquinho suas chances seria de economizar esse dinheiro e comprar 24 cartelas no final do ano.

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    1. Caro Anônimo: o fato de trocar os números a cada jogo não aumenta as chances de ganhar, pois o resultado de um sorteio é independente dos resultados de todos os sorteios passados. Como explicado no post, todas as combinações de seis números têm a mesma chance de ocorrer. Abraço.

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  24. Olá a todos. Numa conversa com amigos discutimos sobre a probabilidade de um jogo sortear números iguais a um outro sorteio só que somados em 1 unidade, exatamente. Ouseja, por exemplo: 1-2-3-4-5-6 e 2-3-4-5-6-7 (não esses números, necessariamente): 21-36-44-51-38-03 e 22-37-45-52-39-04. Em minha opinião, estaríamos considerando 2 probabilidades distintas: a de que os números fossem os mesmos, e somados em 1 unidade apenas. Assim como poderiam ser somados e 2 unidades, ou 3, etc. Mas minha tese não foi aceita. Todos disseram que as chances seriam sempre as mesmas. Entendo que é um caso que exige uma análise mais aprofundada, mas não tenho conhecimento suficiente em estatística (probabilidade) para afirmar tecnicamente minha opinião.

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    1. Obrigado pelo comentário e interesse no blog, Carlos. Não entendi bem a sua argumentação, mas de qualquer forma as chances de todos os jogos, sejam sequenciais ou não, é sempre a mesma. Abraço!

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  25. Boa tarde,
    Fugindo um pouco do tópico, mas nem tanto, seria correto afirmar que uma dada sequência pode nunca ocorrer? Mesmo considerando o infinito como número de tentativas? Estava em uma discussão sobre a possibilidade de sair a sequência 01-02-03-04-05-06, que nem foi bem uma discussão, pois todos concordamos que a probabilidade é a mesma que qualquer outra sequência específica, como muito bem explicado aqui por você. Porém, eu argumentei que uma dada sequência pode nunca ocorrer, dado que em todos os sorteios a chance é a mesma de qualquer sequência ocorrer. Um dos amigos colocou o infinito na questão e disse que no infinito sempre ocorrerão todas as sequências. Como a teoria de probabilidade trata esta questão?
    Parabéns pelo post!

    Desde já agradeço pela atenção!

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    1. Caro Miron,
      Me desculpe pela excessiva demora na resposta.
      O resultado é assintótico, ou seja, à medida que o número de sorteios tende ao infinito, a probabilidade de sair essa sequência pelo menos uma vez tende a 1.

      Abraços e obrigado pelo interesse no post.

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    2. Entendi... então continuemos apostando... em qualquer jogo... se formos imortais, um dia seremos milionários... certo? ;-)

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  26. Primeiro parabéns pela explanação. Ficou muito evidente que ao demonstrar que a probabilidade tanto numa sequencia quanto em outra tem as mesmas chances de saírem. A amostragem atual por ser pequena não nos demostram sorteios com números sequenciais. A questão que mais me deixa intrigado é que no seu exemplo do globo com 50.063.860 bolinhas, representando cada sequencia de números, e que a cada sorteio a bolinha retorna para o globo. Haverá repetições de bolinhas muito antes de todas as bolinhas saírem. Na prática podemos fazer com um globo com 60 bolinhas, a cada sorteio a bolinha retorna, em 60 sorteios haverá uma ou mais bolinhas que sairão repetidas antes das demais, que possivelmente ficaram no globo (atrasadas). Mas isso já é uma questão de aleatoriedade e não probabilidade pois as probabilidades são zeradas ou equiparadas no momento que a bolinha retorna ao globo. A distribuição, retorno a média ou outras regras que até desconheço demonstram essa repetição que é o que mais me intriga! Mas parabéns mais uma vez pela explicação! Show.

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    1. Obrigado pelo comentário e o interesse no post, Marcos.
      Sim, por mais que pareça intrigante, é o próprio fato do sorteio ser aleatório é que faz com que, no seu exemplo, bolinhas saiam mais de uma vez antes que todas saiam. Caso contrário, não seria aleatório, pois as bolinhas que ainda não saíram teriam maior chance de serem sorteadas.

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  27. A análise matemática esta correta, mas levando em consideração a física do problema. Eu como físico tendo a apostar nos números que mais vezes foram sorteados, isso porque a probabilidade real de um número ser sorteado, por melhor que seja o controle de qualidade da CEF não será a mesma para todas as bolinhas, de tal forma que crendo na possibilidade de usarem as mesmas bolinhas para todos os jogos, eu apostaria nas que saem com mais freqüência

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    1. Obrigado pelo comentário, Fábio.
      A hipótese básica dos meus cálculos é que não há nenhuma tendenciosidade.
      Seu comentário é bastante pertinente, na hipótese de que haja algum viés incontrolável no sorteio: as bolas que já saíram mais seriam as que têm mais chance de saírem novamente no futuro.

      Abraço!

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  28. Belo post! Está de parabéns.

    Estive discutindo com amigos a probabilidade de algo que realmente ocorreu na prática (recentemente, e não foi a primeira vez): saírem 3 números repetidos em relação ao sorteio anterior. Isto é, formulando melhor o problema: qual a probabilidade de, num dado sorteio, saírem 3 ou mais dezenas "repetidas" em relação ao sorteio imediatamente anterior? Cheguei ao resultado de 1 chance em 1.711, mas agradeceria se pudesse me confirmar esse cálculo.

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    1. Caro Caio, obrigado pelo post.

      A situação que você colocou equivale à probabilidade de uma pessoa acertar 3 ou mais números tendo jogado um cartão com exatamente os números que saíram do sorteio anterior.

      Então a probabilidade é (usando as formulas como escritas no Excel):

      Saírem 3 dezenas repetidas: Combin (6;3)* Combin (54;3)* / 50.063.860
      Saírem 4 dezenas repetidas: Combin (6;4)* Combin (54;2)* / 50.063.860
      Saírem 5 dezenas repetidas: Combin (6;5)* Combin (54;1)* / 50.063.860
      Saírem 6 dezenas repetidas: Combin (6;6)* Combin (54;0)* / 50.063.860

      A soma disso tudo dá 0.0103, ou seja, 1 em 96, aproximadamente.

      Faz sentido, já que não é tão dificil assim acertar o terno na Megasena

      Abraços,
      André

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    2. Caro Caio, obrigado pelo post.

      A situação que você colocou equivale à probabilidade de uma pessoa acertar 3 ou mais números tendo jogado um cartão com exatamente os números que saíram do sorteio anterior.

      Então a probabilidade é (usando as formulas como escritas no Excel):

      Saírem 3 dezenas repetidas: Combin (6;3)* Combin (54;3)* / 50.063.860
      Saírem 4 dezenas repetidas: Combin (6;4)* Combin (54;2)* / 50.063.860
      Saírem 5 dezenas repetidas: Combin (6;5)* Combin (54;1)* / 50.063.860
      Saírem 6 dezenas repetidas: Combin (6;6)* Combin (54;0)* / 50.063.860

      A soma disso tudo dá 0.0103, ou seja, 1 em 96, aproximadamente.

      Faz sentido, já que não é tão dificil assim acertar o terno na Megasena

      Abraços,
      André

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  29. Mas o número de combinações aleatórias é muito maior que o número de combinações sequenciais, sendo assim, eles não possuem a mesma chance.

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  30. tenho três cupons para um sorteio de 100.000 cupons logo tenho 33.400/1 de chance?

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  31. Caro amigo

    Numa combinação qualquer onde se escolhe X dezenas para gerar Y volantes, se vc e eu escolhermos as mesmas X dezenas, mas voce colocá-las numa ordem e eu colocá-las em outra ordem, seus volantes serão diferentes dos meus volantes.

    É fato que todos os sistemas refletem uma tendencia, mas todos os que conheço, geram combinações diferentes, quando se altera a ordem em que se coloca as dezenas escolhidas para a combinação.

    A CEF sempre anuncia um resultado em ordem crescente, mas as dezenas saem numa ordem aleatória dos globos que as contém.

    Voce saberia dizer onde posso encontrar a exata ordem em que os números são sorteados em cada loteria?

    Voce saberia dizer onde posso encontrar a exata ordem em que os números são sorteados em cada loteria?


    Obrigado!

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    1. Ola Marcelo, obrigado pelo comentário.
      Não tenho informação sobre a ordem em que os números são sorteados, mas de qualquer forma não entendo seu lonto e como isso influenciaria as suas chances.
      Obrigado!
      André

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    2. No site da CEF tem duas planilhas dos jogos já sorteados...
      uma com os numeros na sequencia do sorteio e
      outra com os numeros ordenados

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  32. Olá Professor André.

    Gostaria saber como calcular o numero de cartões a serem apostados retirando todos os cartões partir de 3 números sequenciais, todos os que contiverem somente números pares, todos os que tiverem somente números impares. Grato

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  33. Este comentário foi removido pelo autor.

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    1. Olá, como você calculou o valor das interseções (-1.485)?

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  34. Prezado Prof. André, parabéns por seu blog!
    De todos os que tenho consultado este é melhor em minha humilde opinião.

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  35. Prezados, considero o seguinte em minhas análises:

    se o evento é honesto (aleatório) então nos jogos

    jogo a: 1 2 3 4 5 6

    jogo b: 5 1 3 6 4 2

    se considerarmos a ordem dos numeros sorteados (o que não ocorre na megasena)
    o jogo a não "parece" ser aleatório...

    Entretanto o jogo b possui os mesmos numeros, mas com outra sequencia, possui mais "cara" de terem sido gerados aleatoriamente...

    Concordo com o Prof. André:

    "...as probabilidades são as mesmas, e iguais a de qualquer outra combinação de seis numeros..."

    Mas não me interessa a probabilidade individual ou em conjunto dos numeros...

    o que me interessa saber é: como identificar se um conjunto de seis números, mantida sua ordem de sorteio, é ou não aleatório?

    Na megasena, como não é considerada a sequencia dos numeros sorteados, então podemos aceitar que qualquer resultado seja aleatório?

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    1. Para verificar isso você teria que gerar sequências de números aleatórios, como se estivesse simulando os sorteios reais, porém usando Excel ou qualquer o software não seria útil já que os números gerados pelos mesmos são determinísticos, no entanto poderia usar sites como esse: https://www.random.org/, ou outra forma que gere números verdadeiramente aleatórios, tendo isso feito utiliza-se do teste de Kolmogorov-Smirnov ou shapiro wilk para verificar a normalidade dos dados, assim pode-se concluir se os sorteios já realizados são aleatórios.

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  36. Srs. a Lotomania está acumulada há mais de 15 sorteios,atá agora não havia acontecido este fato, pode acontecer de nos sorteios das 20 bolas que cda uma tem de zero zero a 99 , esuecerem de por várias bolas. para os sorteios acumularem?Obs., Será que os fiscais conferem se nas 20 bolas foram postas todos os numeros a serem sorteados, ou não há esta conferencia dos numeros.

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    1. Pela transparência que já vi dos sorteio todas as bolas são coladas no globo, e pelos auditores fiscais e populares que ficam presentes no sorteio, esta hipótese que você citou é totalmente incoerente, já a questão de acumular com essa frequência isso é totalmente possível.

      Vejamos:

      Para ter 100% de certeza que acertará as 20 dezenas é necessário realizar 11.372.635 de Apostas.

      Neste ultimo sorteio a arrecadação total foi de R$13.818.666,00 ou seja R$13.818.666,00/1,50 = 9.212.444 Apostas realizadas.

      Então a probabilidade de ter ganhadores é de 9.212.444/11.372.635 = 81%. Apesar da probabilidade ser alta não há como garantir que haverá ganhadores, já que também existe uma quantia de apostas repetidas.

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  37. No Ultimo sorteio da Lotomania foi sorteado primeramente o nuero 7 e depois o numero33, ou seja pularam 26 numeros como se explica esta sequencia se não for para acumular premios.

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    1. Simples, o sorteio é aleatório todas as bolas tem a mesma probabilidade de serem sorteadas a diferença entre um primeira bola e a segunda pode variar de 1 a 99.

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  38. Bom dia desculpe por me intrometer, mas, sabe qual o problema do seu raciocínio? As sequências 1,2,3,4,5 e 6 e 7,16,23,34,48 e 52 (que você usou como exemplo) só tem a MESMA probabilidade de saírem SE, E SOMENTE SE, no globo estivessem 50.063.860 bolinhas representando todas as combinações possíveis. Como no caso da mega sena existem apenas 60 bolinhas de 01 a 60 e são sorteadas seis dessas bolinhas para formar uma serie de 6 números a probabilidade de sair uma série de 6 números em sequencia é muito menor que sair sair uma série de números não sequenciais,além de (como você citou) ter menos series sequenciais do que não sequenciais. Exemplo : se o primeiro número sorteado for 1 a probabilidade de sair 2 é de menos que 2% e assim por diante. Ou seja, se o sorteio fosse como no primeiro caso, eu jogaria uma sequencia 1,2,3,4,5,e 6. Mas com o sistema de sorteio da mega sena, NUNCA eu jogaria essa mesma sequência. Arriscaria sempre uma série não sequencial. A probabilidade de acertar é pequena, mas maior do que arriscar uma série sequencial.
    Obrigado pela atenção.

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    1. Eu compartilho da ideia do Rubens, as probabilidades de sair 6 números em sequência NÃO é a mesma de sair 6 números aleatórios, devido ao método que ocorrem os sorteios.

      Vou utilizar mais um exemplo aqui:

      Sabemos que no globo estão as 60 dezenas que existem na Mega-Sena, que vão respectivamente do 1 ao 60.

      Supomos que a primeira dezena sorteada seja o número 4.
      Nesse caso, poderíamos formar as seguintes sequências:
      1,2,3,4,5,6
      2,3,4,5,6,7
      3,4,5,6,7,8
      4,5,6,7,8,9

      Ao sortear a segunda dezena, as probabilidades de sair QUALQUER número que não esteja entre um das sequências acima, que nesse caso seriam entre 10 e 60, é muito maior.

      Mas vamos continuar aqui, supomos que o segundo número sorteado seja o número 1.
      Agora, é possível formar apenas UMA sequência, que é: 1,2,3,4,5,6:

      Então, ao sortear o terceiro número as probabilidades de formar sequência são ainda menores, porque agora QUALQUER número que seja sorteado entre 7 e 60 já vai desmanchar a sequência.

      E mesmo que ainda saia 5 números em sequência, ao sortear a última dezena serão 55 dezenas contra apenas 1.
      Portanto as probabilidades não são as mesmas!

      Gostei da discussão, parabéns pelo seu blog e agradeço a atenção!

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  39. Professor, boa tarde ! Parabéns pelo post. Entendi tudo o que senhor quis dizer, mas fiquei confuso, pois, pra mim, no cálculo da probabilidade de se ganhar jogando em sequência, deveríamos considerar todas as possibilidades de sequência e não amarrar uma específica somente.

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  40. Boa noite, professor. Poderia me explicar os cálculos realizados para cinco números sequenciais pois não entendi os cálculos da tabela.

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  41. Então apostando com mais numeros às chances aumentariam bastante

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  42. Show de bola esse artigo. Parabéns. Teria como me ajudar a fazer esse mesmo cálculo para a Lotofácil?

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  43. Por favor, de 0 a 99 pra se fazer 10 pontos em 10 dezenas jogadas e sabendo que a dezena sorteada volta como devo apostar em 80 dezenas sorteadas,É melhor repetir dezenas ou dezenas aleatórias?

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  44. Sempre pensei que se caíssem 1,2,3,4,5,6 seria cagada nunca imaginei que isto seria
    qualquer sequencia, parabéns pelo conhecimento e obrigado por compatilhar ele conosco

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  45. Caro amigo, muito bom seus cálculos.
    Na última linha da última tabela, quando se fala em sequências 3 a 3 repetidas anteriormente, ex: 1,2,3 e 23,24,25 ... não seria melhor interpretar essas sequências como um único conjunto e fazer a combinação de 20 números agrupados 2 a 2, resultando 380? Não entendi como chegou ao número 1485, poderia por favor explicar?
    Desde já agradeço e muito o seu blog que sempre visito, está de parabéns!

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  46. Nas sequências duplicadas 3 a 3 quando deu o resultado 1485 nas suas contas, efetuei os cálculos aqui da seguinte forma:
    Primeiro descobri quantas sequências tinha de 3 números de 1 a 60. A primeira é 1-2-3, a última é 58-59-60. Deu 57 sequências.
    Depois calculei combinação de 57 números 2 a 2, deu 1596 combinações.
    Depois descobri as sequências que repetem números 2 a 2, ex: 1-2-3 e 2-3-4. A primeira dupla é de 2-3, a última dupla 58-59, dando 57 sequências.
    Depois calculei o número de sequências que repetem 1 número. Ex: 1-2-3 e 3-4-5. O primeiro número que repetem é o 3, o último número que repete é o 58, dando um total de 56 sequências.
    Subtrai 1596 de 57 e 56, deu 1483.
    Obrigado pela leitura, se eu errei, queria saber, apesar que seja por 2 unidades kkk

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  47. Desculpa, já achei o 1485, obrigado.

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