O Sonho de Virar Milionário

Vai até o dia 31 de dezembro o prazo para apostar no último sorteio do ano da Mega-Sena, conhecido como a “Mega Sena da Virada”. Este concurso tem duas particularidades em relação aos demais: 1) o prêmio é muito maior, porque atrai um grande número de jogadores e é composto por arrecadações realizadas ao longo de todo o ano; 2) a regra do sorteio praticamente garante que haverá pelo menos um ganhador pois, caso ninguém acerte os seis números, o prêmio é rateado entre os acertadores da Quina e, na hipótese muito pouco provável de ninguém acertar a Quina, o prêmio é destinado aos ganhadores da Quadra.

Motivado por perguntas feitas por um aluno meu e por um leitor do blog, discuto neste post as chances de você ganhar o prêmio considerando também a possibilidade de ninguém acertar os 6 números e você fazer a Quina, e também a questão de como tentar diminuir as chances de dividir o prêmio.

Não há fórmula milagrosa para aumentar a probabilidade de ser premiado, como já vimos em posts anteriores.¹ Um estudante de nível fundamental tem a mesma chance de ganhar que um doutor em Probabilidade e Estatística, desde que joguem um igual número de apostas. Isto ocorre porque qualquer combinação de 6 números possui a mesma probabilidade de ser sorteada, seja a trivial “1,2,3,4,5,6” ou, por exemplo, a combinação “2-13-21-34-45-56”. A chance de cada aposta simples de 6 números ser sorteada é de 1 em 50.063.860, ou aproximadamente 0,0000020%.

Com a regra da Mega-Sena da Virada, o cálculo das chances de você, com uma aposta simples, ganhar o prêmio destinado à Sena é diferente, pois há três eventos (utilizando o jargão estatístico) mutuamente excludentes² em que isso pode ocorrer:

A) Você acertar a Sena

B) Você acertar a Quina e ninguém acertar a Sena

C) Você acertar a Quadra e ninguém acertar a Quina ou a Sena.

Já sabemos que a probabilidade de ocorrência do evento A é de 0,0000020%. A do evento C será ignorada nos cálculos deste post por ser absolutamente desprezível, principalmente pelo grande número de apostas realizadas neste último sorteio do ano. Nos sorteios da Mega-Sena da Virada de 2009/2010 e 2010/2011, onde passaram a vigorar as regras atuais³, houve 1561 e 734 ganhadores da Quina, respectivamente.

A chance de ninguém acertar a Sena, necessária para se obter a probabilidade do evento B, seria calculada, idealmente, da seguinte forma: de posse das apostas realizadas por todos os jogadores para este concurso, verificaria-se quantas combinações de 6 números não foram escolhidas por NENHUM jogador. Chamando este número de M, a probabilidade de ninguém acertar a Sena seria de M/N, onde N é o número total de combinações (50.063.860). 

O grande problema é que a relação de todas as combinações apostadas não é disponibilizada para o público e, mesmo que fosse, levaria algum tempo para se tabular todas as informações e identificar o valor de M. Utilizarei mais uma vez, portanto, a técnica de simulação estocástica, desta vez para estimar quantas combinações não são escolhidas por nenhum jogador em um concurso da Mega Sena. Irei supor que serão realizadas um total de P apostas simples, independentes entre si, e os números em cada aposta seriam escolhidos de forma totalmente aleatória. É claro que, na prática, a distribuição de apostas não segue necessariamente este padrão, já que:

·      em um conjunto de apostas realizadas por um mesmo jogador (ou em um bolão), cada uma delas não é escolhida de forma independente, pois, por exemplo, não haverá apostas iguais nesse conjunto;

·      há combinações mais suscetíveis de serem escolhidas.

Porém, diante da impossibilidade de se realizar um cálculo exato, a metodologia proposta permite, ao menos, obter uma estimativa razoável.

Tomando como base os totais arrecadados nos sorteios de 2009 e 2010 (R$435 milhões e R$472 milhões, respectivamente⁴) divididos pelo valor da aposta simples (R$2,00), estimo que o total de combinações apostadas (P) seja de aproximadamente 225 milhões⁵. Note que este valor é mais de 4 vezes maior do que o número de combinações possíveis, o que não garante que todas elas serão escolhidas por alguém, devido à possibilidade de haver combinações repetidas.

A simulação resultou, em média, em um percentual em torno de 0,25% para o número de combinações não escolhidas. Portanto, a probabilidade de você ratear o prêmio na situação B será igual a⁶:

     Probabilidade de ninguém fazer a sena  »  0,25%

                                   ´         

     Probabilidade de você fazer exatamente a Quina⁷      »  0,00065%

                                   =

            Probabilidade do evento B = 0,0000016%

A probabilidade de você ratear o prêmio destinado à Sena na Mega-Sena da Virada com uma aposta simples é a soma das probabilidades dos eventos A e B (destacadas em negrito), que assume um valor de aproximadamente 0,0000036%. Apesar de suas chances de ganhar aumentarem em 80% em relação a um concurso normal da Mega-Sena, é importante lembrar que, em caso de premiação fazendo a Quina, você provavelmente irá dividir o prêmio com um grande número de pessoas.

Seria interessante, portanto, tentar diminuir as chances de dividir o prêmio com outras pessoas, ao escolher combinações mais improváveis de serem apostadas. Neste caso, porém, a Psicologia entra em cena para identificar o padrão adotado pelas pessoas ao realizar os jogos. É comum, por exemplo, que se escolham números associados a datas comemorativas ou números dispersos de forma homogênea ao longo do volante de aposta (como por exemplo, um número em cada uma das 6 dezenas, de 1 a 10, 20 a 29,...,51 a 60).

Fuja deste padrão e pense em alguma combinação que quase ninguém apostaria, como por exemplo 1, 4, 6, 8, 9, 11. Não se preocupe se este jogo parecer improvável, pois, como já sabemos, TODAS as combinações têm a mesma chance de ser sorteada. Mais uma dica: a aposta em números seguidos, como 1,2,3,4,5,6, deve ser evitada. Apesar de esta combinação parecer improvável para a grande maioria das pessoas, é mais fácil de ser escolhida por alguém, porque obedece a certo padrão.

_________________________________________________________________________________

1) Posts “A Mega em Cena”, de 03/05/2011 e “Números em Sequência”, de 08/05/2011”

2) Na teoria das probabilidades, dois eventos são mutuamente excludentes quando não podem ocorrer simultaneamente.

3) A Mega-Sena da Virada foi criada em 2008, porém apenas a partir de 2009 passou a vigorar a regra de que o prêmio da Sena não seria acumulado para o sorteio seguinte, mas sim repassado aos ganhadores da Quina e Quadra.

4) Informações sobre arrecadação e resultados dos sorteios podem ser obtidas no endereço http://www1.caixa.gov.br/loterias/loterias/megasena/como_jogar.asp.

5) É importante lembrar que o preço das apostas múltiplas (por exemplo, de 7 números) é diretamente proporcional ao número de combinações contidas na mesma. Portanto, para este cálculo, não faz diferença como o total de apostas está distribuído entre apostas simples e múltiplas.

6) A rigor, deve-se realizar o produto entre a “Probabilidade de ninguem fazer a sena” e a “Probabilidade de você fazer exatamente a Quina, dado que você não fez a Sena”. No entanto, a probabilidade condicionada no segundo fator é praticamente igual à probabilidade de você fazer exatamente a Quina.

7) Para uma aposta simples, o número de sorteios favoráveis para você fazer a Quina é C₆⁵ ´ C₅₄¹, que é a composição das combinações de 5 números dentre os 6 que você escolheu e de 1 número dentre os 54 que você NÃO escolheu. A probabilidade de fazer a Quina será então a razão entre esta quantidade e o número total de combinações (C₆₀⁶).