Pesquisar este blog

terça-feira, 31 de janeiro de 2012

Futebol: que vença o melhor?


Teve início na semana passada o campeonato Carioca, dito o mais charmoso do Brasil. O atual campeão, Flamengo, defende o título contra o Fluminense, que luta para se aproximar do rubro-negro na hegemonia do estado, o Botafogo, que busca amenizar a frustação de ser o único grande carioca a não participar da Libertadores, e o Vasco, que tenta ir pela primeira vez a uma final desde 2004. A fórmula de disputa é a mesma adotada nas últimas edições: em cada turno, os dois primeiros classificados de cada grupo se enfrentam em confrontos do tipo “mata-mata”, com duas semifinais e uma final, todas disputadas em jogo único. Não há vantagem de empate para a equipe com melhor campanha na fase de classificação.

Como em todo campeonato, é bem possível que determinada equipe seja superior às outras, seja do ponto de vista puramente técnico ou emocional. Costumo brincar, porém, que esta fórmula de disputa é como decidir os jogos no “cara ou coroa”, tamanha é a aleatoriedade resultante desse processo. Para se ter uma idéia, no ano passado, dos 6 jogos semifinais / finais, 4 foram para os pênaltis, e nenhum dos confrontos envolvendo dois times chamados grandes foi decidido no tempo normal1.

Este post não tem a pretensão de calcular a chance matemática de título de uma equipe sobre outra a partir de informações qualitativas, mas sim mostrar o quanto esta fórmula de disputa pode ser injusta, partindo de um suposto desequilíbrio técnico entre as equipes. Apesar da dificuldade de acomodação no calendário, a realização de confrontos do tipo “todos contra todos” resultaria em uma maior probabilidade de título para a equipe que fosse melhor.

Pela fórmula atual de disputa, a chance de título de cada equipe classificada para a fase final do turno (por exemplo, a equipe A ilustrada na Figura 1) é dada por:

                                               Chance de título no turno = ps x  pf ,

onde ps e pf são as probabilidades de a equipe superar seus adversários nas fases semifinal e final, respectivamente, seja no tempo normal ou nos pênaltis. Na hipótese de total equilíbrio, onde cada equipe tem 50% de chance de vencer cada confronto, a chance de título de todas elas será de 25%, que corresponde ao valor, em percentual, do produto 0,5 x 0,5.

 
Suponha que, das quatro equipes que disputam a fase final do turno (denominadas A, B, C e D), a equipe A seja “duas vezes melhor” do que qualquer outra equipe. Matematicamente, isto se traduziria em uma probabilidade de 2/3 de vitória para a equipe A, contra 1/3 de seu adversário. Apesar de esta situação hipotética sugerir que a equipe A provavelmente levantará a taça do turno, suas chances de título são de apenas 44,44%. Esse é o resultado, em percentual, do produto 2/3 x 2/3, que expressa a necessidade de a equipe vencer os dois confrontos. Se as demais equipes forem consideradas tecnicamente empatadas, a chance de título daquela que enfrentar a equipe A na semifinal será de 16,67%, e cada uma das demais ficará com uma chance de 19,44% 2. Apesar da evidente vantagem da equipe A em relação às demais, não deixa de ser desanimador constatar que, apesar de ser tão superior às outras equipes, será mais provável que a equipe A não vença o turno.

Se fosse adotada na fase final do turno uma fórmula do tipo “todos-contra-todos”, com o título indo para a equipe que conquistasse mais pontos (vide Figura 2a), a chance de título da equipe A subiria para 51,57%. Se, além disso, todos os confrontos fossem do tipo “ida e volta” (vide Figura 2b) esta chance saltaria para 62,78%, o que traduziria melhor, em números, a suposta superioridade da equipe A em relação às demais. Todos esses cálculos estão descritos na nota 3. 

 
É claro que a opção (b) seria inviável do ponto de vista prático pelo grande número de jogos envolvidos e pelo grau de importância que se daria a um simples turno. Mas poderia ser adotada em uma eventual fase final do campeonato, como foram nos longíquos anos de 1994 e 1995, por exemplo.

Análise semelhante pode ser feita para um playoff final de um campeonato de basquete, com o objetivo de determinar a quantidade de jogos que seja suficiente para proporcionar uma chance razoável de título para a melhor equipe4. Como no basquete não há empate, este cálculo pode ser feito aplicando-se diretamente a distribuição binomial, conforme mostrado na tabela abaixo. Considerei um exemplo onde uma equipe A tem 60% de chance de vitória em cada partida do playoff, contra 40% de seu adversário. (Do ponto de vista qualitativo, poderia se dizer que a equipe A é “50% melhor do que B”).

# jogos no playoff*
Condições para a equipe A ser campeã
Probabilidade da equipe A ser campeã
Cálculo
Chance (%)
1
vencer o jogo
0,60
60,0
3
Vencer pelo
menos 2 jogos
0,603 + C32.0,602.0,40 = 0,648
64,8
5
Vencer pelo
menos 3 jogos
0,605 +C54.0,604.0,401+ C53.0,603.0,402 = 0,682
68,2
7
Vencer pelo
menos 4 jogos
0,607 + C76.0,606.0,401+ C75.0,605.0,402
+ C74
.0,604.0,403 = 0,710
71,0
* o número de jogos é sempre ímpar para evitar que haja empate na soma das vitórias.

Como é de se esperar, quanto maior o número de partidas no playoff, maiores são as chances de título da melhor equipe. Porém, é interessante notar que, mesmo a equipe A sendo uma vez e meia superior ao seu adversário, em um playoff  com 7 partidas a chance dela não levar o título é de quase 30%. Para que a chance de título de A alcance o usual nível de significância de 95% adotado em Estatística, seria necessário um playoff de pelo menos 65 partidas.

Ao final de um campeonato, é comum buscar argumentos para justificar que o time campeão é “melhor” do que os outros, esquecendo que, em situações onde a aleatoriedade está presente, nem sempre a equipe que é superior vence, e o resultado final está longe de ser determinístico. Talvez o melhor exemplo para o futebol seja justamente o campeonato mais importante, a Copa do Mundo, que adota o mesmo sistema de “mata-mata” em jogo único desde as oitavas até o jogo final. Acho pouco provável que, se o mundo voltasse no tempo repetidas vezes, a Espanha fosse a maior campeã em 2010, ou a Itália em 2006.

De qualquer forma, seja no futebol ou no basquete, a razão perde espaço para a emoção proporcionada pela imprevisibilidade do resultado. Seria de fato bastante entediante acompanhar um campeonato onde a fórmula de disputa fosse 100% justa, pois em muitos casos já se conheceria a priori o campeão.
_________________________________________________________________________________

1) Antes que este post desperte a ira de alguns leitores, ressalto que, apesar de não ter sido conquistado de forma muito nobre, considero justo o título obtido pelo Flamengo no ano passado, principalmente pela invencibilidade obtida durante a competição.

2) As probabilidades de título de cada equipe são as seguintes:
Equipe que joga a semifinal com A: 1/3 (vitória sobre A) x1/2 (vitória sobre a outra equipe) = 0,167
Demais equipes: 1/2 x 1/3 (vitória sobre outra equipe e vitória sobre A na final) x 2/3 (chance de A ir para a final ) + 1/2 x 1/2 (vitória sobre outra equipe na semifinal e final) x 1/3 (chance de A não ir para a final ) = 0,167 = 19,44%

3) Consideraram-se nestes cálculos uma chance de 40% de empate e 30% de vitória para cada time entre jogos envolvendo equipes B, C e D. Para os jogos da equipe A, as probabilidades de vitória, empate e derrota de A foram de 1/2, 1/3 e 1/6, respectivamente (note que, dividindo-se a chance de empate igualmente entre as equipes, tem-se 2/3 de vantagem para A). Listei todas as 3n combinações de resultados para os n jogos, e calculei a probabilidade de cada combinação como o produto das probabilidades de todos os resultados. A equipe campeã em cada combinação foi identificada pelo número de pontos ganhos em todos os jogos. Em caso de empate entre 2 ou mais equipes, dividiu-se a probabilidade de título igualmente entre as equipes.

4) Esta questão é discutida no ótimo livro “O Andar do Bêbado – como do acaso determina nossas vidas”, de Leonard Mlodinow, lançado em português aqui no Brasil.

3 comentários:

  1. Excelente, uma aula divertida. Mas dependendo dos acontecimentos essa chances mudam, óbvio. Como no caso de um ou mais dos quatro grandes não se classificar para os play-offs

    ResponderExcluir
  2. Pois é, e tem sido difícil irem os quatro para as semifinais...
    Neste caso, os cálculos seriam realizados considerando probabilidades diferentes entre o time pequeno e os grandes.

    ResponderExcluir
  3. Como me tornei uma mulher feliz novamente
    Com lágrimas de alegria e felicidade, estou prestando meu testemunho a todos os telespectadores on-line, meu problema com o estágio IB de Câncer de Estômago causou-me muitas dores e tristezas, especialmente em minha família.
    Eu estava com tanto medo de perder a vida, sofri o constrangimento de visitar
    terapia centenas de vezes, infelizmente eles não encontraram uma solução definitiva para o meu problema, chorei o dia todo e a noite, tenho que viver minha vida dessa maneira? Eu procurei toda a Internet por cuidados, fui enganado por fraudadores da Internet vezes sem números ... até que um amigo meu que fica no Reino Unido me apresentou a um amigo dela que estava curado da mesma doença, e ela me apresentou ao Dr. Itua, que a curou do câncer de mama por este e-mail / WhatsApp +2348149277967, drituaherbalcenter@gmail.com. Entrei em contato com ele e ele prometeu que tudo ficaria bem e que eu tinha fé. Ele me enviou seus medicamentos à base de plantas através do Courier servcie e fui instruído sobre como tomá-lo por três semanas para curar, segui as instruções que me foram dadas e Hoje sou uma mulher feliz novamente. Ele cura todos os tipos de doenças como - câncer no cérebro, doença trofoblástica gestacional, câncer de cabeça e pescoço, câncer de ovário, linfoma de Hodgkin, herpes, câncer de fígado, câncer de garganta,
    Síndrome Fibrodisplasia Ossificante Progresesclerose, doença de Alzheimer, diarréia crônica, DPOC, Parkinson, Als, carcinoma adrenocortical Mononucleose infecciosa.
    Câncer de intestino, Câncer de tireóide, Câncer de útero, Fibróide, Angiopatia, Ataxia, Artrite, Escoliose lateral amiotrófica, Tumor cerebral, Fibromialgia, Toxicidade por fluoroquinolonaTumor de bexiga Mieloma múltiplo, tumores neuroendócrinos
    Linfoma não Hodgkin, Câncer bucal, Câncer de sinusite, Hepatite A, B / C, Câncer de pele, Sarcoma de tecidos moles, Câncer de coluna, Câncer de estômago, Câncer de estômago, Câncer de vagina, Câncer de vulva,
    Câncer testicular, Doenças de Tach, Leucemia.

    ResponderExcluir